What is the derivative of
y=(tanx)/(1+secx)

First, the the derivative of  y=lnA is y' = A' / A
let y=(tanx)/(1+secx), implies lny=ln [(tanx)/(1+secx)]

(lny)' =(ln [(tanx)/(1+secx)])'   so  y' /y = [(tanx)/(1+secx)])'/ (tanx)/(1+secx)
(tanx)/(1+secx)' =[(tanx)' (1+secx) - (tanx)(1+secx)'] / (1+secx)²

(tanx)' =  1 + tan²x  and (1+secx)']= secx tanx  (check lesson)

so 
(tanx)/(1+secx)' = (1 + tan²x) (1+secx) - ( tan²xsecx ) /  (1+secx)²
                          =  (1 + secx +tan²x) / (1+secx)²  
 y' /y = [(tanx)/(1+secx)])'/ (tanx)/(1+secx)= 

y' /y =[(1 + secx +tan²x) / (1+secx)² ] / (tanx)/(1+secx)
y' /y =(1 + secx +tan²x)  (1+secx)  / (tanx) (1+secx)² 

so  y' = y. [ (1 + secx +tan²x)  (1+secx)  / (tanx) (1+secx)² ]
      
but y=(tanx)/(1+secx), 
       y' = (tanx)/(1+secx) [ (1 + secx +tan²x)  (1+secx)  / (tanx) (1+secx)² ]

finally the derivative of (tanx)/(1+secx) is given by 

   y' =  (1 + secx +tan²x)  

D.