Una escalera de 131313 metros está recargada contra una pared cuando su base empieza a resbalar. Cuando la base está a 121212 metros de la pared, se mueve a una razón de 5\text{ m/s}5 m/s5, start text, space, m, slash, s, end text. En ese momento, ¿a qué razón está cambiando el ángulo \thetaθtheta entre el piso y la escalera?

El ángulo entre el piso y la escalera está cambiando a una razón de -1 radian por segundo.

Step-by-step explanation:

Sea la distancia horizontal entre la pared y la base de la escalera y la longitud de la escalera, medidas en metros. Además, tenemos que es el ángulo entre la escalera y el piso, medido en radianes.

Si la pared y el piso son ortogonales entre sí, entonces podemos utilizar la siguiente relación trigonométrica que relaciona las variables anteriores:

 (1)

Por diferenciación implícita y la definición de razón de cambio tenemos que:

(2)

Donde:

- Razón de cambio de la distancia horizontal entre la pared y la base de la escalera, medida en metros por segundo.

- Razón de cambio del ángulo entre el piso y la escalera, medida en radianes por segundo.

Pero tenemos que el seno del ángulo está definido por:

(3)

Si aplicamos (3) en (2), expandimos la ecuación como sigue:

(4)

Si tenemos que , y , entonces la razón de cambio del ángulo es:

El ángulo entre el piso y la escalera está cambiando a una razón de -1 radian por segundo.