Mathematics, 15.08.2020 21:01, mykidzmatter2

Uma folha de papel foi dobrada como mostra o esquema abaixo. Determine o valor do ângulo alfa.

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answered: henryzx900

$\alpha = 35º$

Step-by-step explanation:

Primeiro, vamos dizer que essa folha tem extremidades nos pontos A, B, C, D .

E vamos chamar os vértices do triângulo que contém o ângulo $\alpha$ de E, F, G .

Na semireta de baixo, formada por , a gente tem um ângulo de 70º e um outro ângulo de 90º (porque ele indica um ângulo reto).

Vamos dizer que estes dois ângulos se encontram no ponto , que combinamos antes, como vértice (extremidade) do triângulo de cima.

Como os dois ângulos, estão num mesmo ponto, , podemos dizer que existe um terceiro ângulo para o qual sua soma seja 180º . E tem, seria o ângulo à esquerda de

Vamos chamar este ângulo de $\beta _{I}$ . Portanto:

$\beta _{I} + 90º + 70º = 180º\\\beta _{I} = 180º - 160º\\\beta _{I} = 20º$

Agora, temos um outro triângulo no canto inferior esquerdo da folha, cujos ângulos são $\beta x_{I}$ , 90º e um outro ângulo, que vamos chamar de $\beta x_{II}$

Esse último vai ser o ângulo superior deste triângulo, tá legal?

Então, vamos ter que:

$\beta _{I} + 90º + \beta _{II} = 180º\\\beta _{I} + \beta _{II} = 90º\\$

Como $\beta _{I} = 20º$ ,

$\beta _{I} + \beta _{II} =20º + \beta _{II}$

$20º + \beta _{II} = 90º\\\beta _{II} = 90º - 20º\\\beta _{II} = 70º$

Ou seja, o ângulo superior do triângulo no canto inferior esquerdo, é 70º.

Vamos concordar, que este mesmo triângulo tem vértices nos pontos F, D, E . Onde é o ponto superior, é a extremidade inferior esquerda do retângulo e é aquele mesmo ponto em que se encontram os ângulos de 90º e 70º .

Mais à frente, você vai entender o porquê é importante nomear estes pontos, eu fiquei 40 minutos tentando fazer essa questão sem fazer isso e não conseguia porque empacava numa parte da resolução.

Então, agora, sabemos que o ângulo $\beta _{II}$ , que é o encontro dos seguimentos e vale 70º .

Até aqui, foi só aplicar propriedades. Mas, a partir desse ponto, você vai precisar usar a criatividade.

Então, você entende que o ângulo $\beta _{II}$ está inserido numa reta com outros dois ângulos concentrados no ponto .

Então, pode dizer que esse ângulo externo é o suplemento de $\beta _{II}$ .

Vamos chamar todo ele de $\beta _{III}$

$\beta _{II} + \beta _{III} = 180º\\70º + \beta _{III} = 180º\\\beta _{III} = 180º - 70º\\\beta _{III} = 110º$

Agora, vamos elevar o nível de criatividade no raciocínio e ver também que temos um quadrilátero formado pelos pontos A, G, F, E

A soma dos ângulos de qualquer quadrilátero é 360º.

E temos que esse mesmo quadrilátero é formado por dois ângulos retos, além do ângulo de 110º que calculamos.

A última extremidade que falta é um ângulo formado pela soma de $\alpha$ a um outro ângulo, que vamos chamar de $\beta _{IV}$ .

Então, temos que:

$90º + 110º + 90º + \alpha + \beta _{IV} = 360º\\\alpha + \beta _{IV} +290º = 360º\\\alpha + \beta _{IV} = 360º + 290º\\\alpha + \beta _{IV} = 70º\\$

De todas, as etapas dessa resolução essa é a mais importante de entendermos os pontos que definimos. Eu refiz ela várias vezes porque não fiz isso antes.

Mas, veja, quando a gente dobra a folha, pegamos um formato qualquer e destacamos do resto dela.

Isso quer dizer que o formato que ficou dobrado é o mesmo que falta na folha. Do contrário, estaríamos criando folha ou excluindo matéria, o que não é possível no caso de uma simples dobra.

Em outras palavras, os triângulos AGF e EFG são os mesmos. (Eu recomendo que você construa esse desenho e coloque as letras em cada ponto, pra visualizar melhor.)